Cho x;y;z > 1;x+y+z=1
Tìm GTNN của \(M=\frac{x-2}{z^2}+\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}\)
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2=3. Tìm GTNN của biểu thức: M=\(\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
\(M\left(x+y+z\right)=\left(z^2+y^2+z^2\right)+2+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)
\(=5+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)
\(\ge5+2\left(y+z\right)+2\left(z+x\right)+2\left(x+y\right)=5+4\left(x+y+z\right)\) ( Sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ý)
\(\Rightarrow M\ge\frac{5}{x+y+z}+4\)
Mặt khác: \(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
Do đó: \(M\ge\frac{5}{3}+4=\frac{17}{3}\)
\(M=\frac{17}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(\Rightarrow Min_A=\frac{17}{3}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3\).Tìm GTNN của M=\(\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
Cho x,y,z > 1;x+y+z=1
Tìm GTNN của \(M=\frac{x-2}{z^2}+\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}\)
Câu này đề bài có vấn đề nhé.
1. x , y,z > 1 thì không thể có x+ y +z =1.
2. Gỉa sử x, y, x > 0. Ví dụ lấy \(x=0,99999999\), \(z=5.10^{-9}\),\(y=5.10^{-9}\)
ta thấy M sẽ rất nhỏ. Khi x càng dần 1, z,y càng dần tới 0 thì M càng nhỏ, nên ko tìm GTNN của M đc.
FZ xem lại em nhé.
Cho x, y, z > 0 thoả mãn : x+y+z=3 . Tìm GTNN của : \(P=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)
+ \(P=\frac{x}{y^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{1}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}\)
+ \(\frac{1}{x^2+1}=\frac{x^2+1-x^2}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\)
+ \(x^2+1\ge2x\forall x\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+1}\le\frac{x^2}{2x}=\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow-\frac{x^2}{x^2+1}\ge-\frac{x}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}\ge1-\frac{x}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 1
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{1}{y^2+1}\ge1-\frac{y}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> y = 1
\(\frac{1}{z^2+1}\ge1-\frac{z}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> z = 1
Do đó : \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge3-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (1)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.
+ \(\frac{x}{y^2+1}=\frac{x\left(y^2+1\right)-xy^2}{y^2+1}=x-\frac{xy^2}{y^2+1}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\) ( do \(y^2+1\ge2y\forall y\) )
Dấu "=" xảy ra <=> y = 1.
Tương tự : \(\frac{y}{z^2+1}\ge y-\frac{yz}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> z = 1.
\(\frac{z}{x^2+1}\ge z-\frac{zx}{2}\). Dấu "=" xảy ra <=> x = 1.
Do đó : \(\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge3-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}\)
( do \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) )
\(\Rightarrow\frac{x}{y^2+1}+\frac{y}{z^2+1}+\frac{z}{x^2+1}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.
Từ (1) và (2) suy ra
\(P\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)
P = 3 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Min P = 3 \(\Leftrightarrow x=y=z=1\).
Cho \(x,y,z>0\)và \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)
Tìm GTNN của \(P=\frac{y^2x^2}{x\left(y^2+x^2\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x^2+y^2\right)}\)
https://olm.vn/hoi-dap/question/850271.html
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=2. Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
BĐT cộng mẫu số
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z= 2/3
Cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2017\)
Tìm GTNN của \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Xét bất đẳng thức : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng ta có :
\(2\left(y^2+z^2\right)\ge\left(y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\ge y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
Tương tự ta có \(\frac{y^2}{x+z}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}};\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Cộng theo vế của 3 bđt ta được :
\(A\ge\Sigma\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x^2+y^2}\\b=\sqrt{y^2+z^2}\\c=\sqrt{z^2+x^2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó :
+) \(a+b+c=2017\)
+) \(a^2+b^2-c^2=x^2+y^2+y^2+z^2-z^2-x^2=2y^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=y^2\)
\(\)+) \(\sqrt{2\left(z^2+x^2\right)}=\sqrt{2}c\)
Do đó ta có \(A\ge\frac{a^2+b^2-c^2}{2\sqrt{2c}}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2\sqrt{2}a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b}\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}+2c-3c\right)\right]\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(2\left(a+b\right)-3c\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot2017=\frac{2017}{2\sqrt{2}}=\frac{2017\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=...\)
1, cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:x+y+z=9
Tìm GTNN của biểu thức: S=\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{2a-b}{3}\) với a;b dương
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(3a^3\ge\left(2a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng: \(\Rightarrow S\ge\frac{2x-y}{3}+\frac{2y-z}{3}+\frac{2z-x}{3}=\frac{x+y+z}{3}=3\)
\(S_{min}=3\) khi \(x=y=z=3\)
cho x,y,z > 0 , xyz = 1. Tìm GTNN của: \(A=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)